29 de janeiro de 2014

A Matemática é Bonita - Parte 1 - O número de ouro e a sequência de Fibonacci

Eu gosto de matemática, sempre gostei, por isso acabei indo para um curso de graduação de engenharia e vendo matérias bastante avançadas. Tem algumas curiosidades interessantes, acho que todos deveriam conhecer, não entender os mínimos detalhes, mas uma visão por cima. Resolvi escrever uma série de artigos contando algumas dessas coisas, não sei quando vou publicar o segundo, mas espero que logo.

Nos cursos de engenharia o software Matlab é muito usado para fazer cálculos e simulações, existe um similar chamado Scilab que é Open Source, na minha faculdade não é muito usado, mas, para o básico, pode substituir o Matlab. Vou colocar alguns exemplos de código para ser executado nele, no entanto isso é apenas um bônus, não necessário para o entendimento.

Concha de um Nautilus, exemplo da proporção áurea na natureza (Wikipédia)
A sequência de Fibonacci é uma série de número descoberta por Leonardo Fibonacci no século XIII, ela é representada pela soma dos dois números anteriores, partindo de 0, 1. Ou seja, a sequência é dada por: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

A natureza tem alguns números conhecidos como irracionais, que tem infinitos dígitos, o mais popular é o "pi", outro mais conhecido por engenheiros e matemáticos é o número de Euler (a pronuncia é "Óiler", também conhecido como número neperiano ou simplesmente "e"), que tem incontáveis aplicações em engenharia. Outro, muito citado pelo Código da Vince de Dan Brown, é o Número de Ouro, Proporção Áurea ou ainda simplesmente "phi" (se pronuncia "fi").

O "phi" está muito presente na natureza, por exemplo na concha no Nautilus da figura acima, em pétalas de flores, em girassóis, no crescimento de árvores, no formato das galáxias, mas o que realmente me chama atenção é que está presente em diversas partes do corpo humano. Você pode ler um pouco mais sobre essas proporções nesse site. O número pi está relaciona o raio com o perímetro do círculo, seria o "phi" uma constante inerente a estruturas organizadas?

Você deve estar pensando, o cara começa falando de uma sequência de numérica e vai para uma constante, o que isso tem a ver com esse número "phi"? Simplesmente tudo! Usando a sequência de Fibonacci você consegue chegar no número "phi". Fiz uma pequena tabela no Excel comparando a taxa de crescimento da sequência de Fibonacci, ou seja, a razão entre os termos, que você pode ver abaixo:

Como você deve ter notado, conforme os números crescem, cada vez mais nos aproximamos do valor real de "phi". Existe uma definição rigorosa na matemática para uma coisa chamada limite, mas entendermos que hipoteticamente teremos o valor exato de "phi" quando pegarmos os dois últimos termos da série já é o bastante, como a série é infinita isso é impossível.

Alguns algoritmos simples para o Scilab podem gerar a série de fibonacci, gostaria de colocá-lo aqui no blog, mas o Blogger é péssimo com algoritmos, logo deixo o link para acessar o arquivo na minha conta no Github.

Na matemática existem equações conhecidas como diferenciais, são parte da cinemática (movimento de corpos) da física, quando se lida com capacitores e indutores na elétrica, entre uma infinidade de outras coisas. Elas indicam uma grandeza dinâmica, que se altera com o passar no tempo, como a posição e velocidade de um corpo ou a carga de capacitor. Existem também as equações a diferenças, que são bem parecidas com as diferenciais, até no método de resolver, mas dão passos discretos, ou seja, pulam os números. Por exemplo a série tratada aqui, 0, 1, 1, 2, 3..., mas jamais terá um termo 1.25 ou 3.1.

Podemos escrever a série de Fibonacci como a equação a diferenças: x[n+2]=x[n+1]+x[n], ou seja, o termo n+2 é a soma do n+1 e do n, os dois anteriores. Colocando as condições iniciais x[0]=0 e x[1]=1, estamos dizendo que os dois primeiros termos são respectivamente 0 e 1, é possível resolver essa equação, por um método razoavelmente fácil. Chegando a equação geral da série de Fibonacci:

Repare que substituindo x por 0 o resultado será 0, por 1 será 1, conforme prediz a série. Novamente fiz um programa no Scilab, é bem bobinho, apenas substitui o "x" na fórmula e exibe o resultado. Se você dividir f(x+1) por f(x) você chegará na equação abaixo, que é exatamente a proporção áurea:

Com isso você pode perceber que a série de Fibonacci está intimamente relacionada com a proporção áurea, e esta relacionada a centenas de ocorrências na natureza. No próximo artigo da série, gostaria de contar um pouco sobre a transformada de Fourier, que era algo totalmente teórico na matemática, mas que com o passar descobriu que representava a realidade física de alguns fenômenos.

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